Логические нейронные сети

Булева концепция алгебры высказываний о событиях


" Ученые объяснения большей частью производят то впечатление, что бывшее ясно и понятно становится темно и запутанно".

Определение 1. Предполагаемое или свершившееся действие, его фигурант, результат, а также условия свершения, называются событием.

Определение 2. Событие выражается высказыванием о его свершении.

Высказыванию о событии (далее - просто высказывание, считая событие и высказывание о нем синонимами) можно поставить в соответствие переменную, которая в рамках булевой концепции может принимать значение ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Например:

x = <поезд опоздал на пять минут>; y = <в данной операции принимал участие Вася> (достаточно сообщить лишь имя); z = <скорость автомобиля принадлежит диапазону (120-140 км/ч)> (достаточно кратко обозначить диапазон в известном контексте, как условие свершения некоторого действия, приведшего к автокатастрофе).

Очевидно, что каждая переменная x, y, z может принимать одно из двух значений - 0 или 1.

Над высказываниями производятся логические операции. В рамках последующих построений потребуются четыре операции: отрицание (¬x, НЕx, x ), конъюнкция (

, И, AND, ·), дизъюнкция (
, ИЛИ, OR), импликация или операция следования (
). Результаты операций определяются таблично.

Предполагая достаточные знания слушателей, можно напомнить:

  • одноместная операция отрицания меняет значение переменной на противоположное;
  • двуместная операция конъюнкции над двумя и (рекурсивно) более переменными порождает значение 1 тогда и только тогда, когда все переменные имеют значение 1;
  • двуместная операция дизъюнкции над двумя и (рекурсивно) более переменными порождает значение 1, когда хотя бы одна переменная имеет значение 1;
  • переменная справа от знака операции следования (импликации) принимает значение 1 тогда и только тогда, когда выражение слева от этого знака имеет значение 1.

Кроме того, ниже используется операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, предполагающая возможность лишь единственного вхождения переменной со значением 1 в операцию дизъюнкции, объединяющую несколько переменных.


Переход от высказываний к их булевой интерпретации, к булевым переменным, вводит в действие все законы, свойства и правила эквивалентных преобразований, известные из булевой алгебры.

Закон коммутативности:



(1.1)
Закон ассоциативности:



(1.2)
Закон дистрибутивности:



(1.3)
Закон де Моргана:





(1.4)
Закон идемпотенции:



(1.5)
Закон поглощения:



(1.6)
Закон склеивания:



(1.7)
Операция переменной с инверсией:



(1.8)
Операция с константами:



(1.9)
Двойное отрицание:



(1.10)
Несмотря на наличие дистрибутивных операций, существует ранжирование операций - в сторону понижения (ранга) слева направо: ¬(x),
,
. То есть если написано без скобок ¬x
y
z, то с помощью эквивалентного обозначения и скобок можно выявить следующий порядок действий: x
(y
z).



Переход от высказываний к их булевой интерпретации, к булевым переменным, вводит в действие все законы, свойства и правила эквивалентных преобразований, известные из булевой алгебры.

Закон коммутативности:



(1.1)
Закон ассоциативности:



(1.2)
Закон дистрибутивности:



(1.3)
Закон де Моргана:



(1.4)
Закон идемпотенции:



(1.5)
Закон поглощения:



(1.6)
Закон склеивания:



(1.7)
Операция переменной с инверсией:



(1.8)
Операция с константами:



(1.9)
Двойное отрицание:



(1.10)
Несмотря на наличие дистрибутивных операций, существует ранжирование операций - в сторону понижения (ранга) слева направо: ¬(x),
,
. То есть если написано без скобок ¬x
y
z, то с помощью эквивалентного обозначения и скобок можно выявить следующий порядок действий: x
(y
z).


Содержание раздела